02 - Transformations du plan

Auteur

Jérôme Soucy

Dernière mise à jour

05 février 2026 à 15:20

Question 1

Soit l’application affine dont la représentation analytique est donnée par

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right). \]

Déterminez l’image du rectangle plein $\left\{(x,y) : x \in [0,2] ~\text{et}~y \in [0,1]\right\}$ par $w$.
Déterminez l’image par $w$ du triangle plein dont les sommets sont donnés par \[A = (1,1), B = (0,0) ~\text{et}~ C = (-1,1).\]

Solution.

C’est un parallélogramme (plein) de sommets $(-2,1), (-1,1), (1,5)$ et $(0,5).$
C’est un triangle (plein) de sommets $(-1,3), (-1,1)$ et $(-3,-1).$

Question 2

Trouvez l’expression analytique de l’isométrie qui envoie le triangle de la figure 1 sur celui de la figure 2.

Solution. L’expression analytique d’une telle isométrie peut être exprimée de la façon suivante :

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}1-\frac{\sqrt{2}}{4}\\\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\right). \]

Question 3

Trouvez l’expression analytique d’une application affine qui envoie le triangle de sommets $A = (-11,3),B = (1,12)$ et $C = (-1,14)$ sur le triangle de sommets $P = (90,-68), Q = (69,-53)$ et $R = (83,-59).$ On sous-entend ici que le point $A$ est envoyé sur $P$, le point $B$ sur $Q$ et le point $C$ sur $R.$ Il serait souhaitable d’utiliser un outil informatique pour faire les calculs.

Solution. L’expression analytique de la transformation cherchée est :

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-4&3\\2&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}37\\-43\end{array}\right). \]

Imposition des conditions

Il faut déterminer $a, b, c, d, e$ et $f$ tels que la transformation

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) \]

soit telle que $w(A) = P$, $w(B) = Q$ et $w(C) = R$. Ces trois conditions se traduisent :

\[ w\left(\begin{array}{c}-11\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-11\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}90\\-68\end{array}\right), \]

\[ w\left(\begin{array}{c}1\\12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\12\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}69\\-53\end{array}\right), \]

\[ w\left(\begin{array}{c}-1\\14\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-1\\14\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}83\\-59\end{array}\right), \]

qui, sous forme d’équations, s’écrivent :

\[ \begin{align} -11a + 3b + e &= 90, \\ -11c + 3d + f &= -68, \\ a + 12b + e &= 69, \\ c + 12d + f &= -53, \\ -a + 14b + e &= 83, \\ -c + 14d + f &= -59. \end{align} \]

Résolution des systèmes

On considère d’abord le système formé des équations ne contenant que les nombres $a,b$ et $e$ :

\[ \begin{aligned} -11a + 3b + e &= 90,\\ a + 12b + e &= 69,\\ -a + 14b + e &= 83. \end{aligned} \]

Par la suite, on traite le système formé des équations ne contenant que les nombres $c,d$ et $f$ :

\[ \begin{align} -11c + 3d + f &= -68,\\ c + 12d + f &= -53,\\ -c + 14d + f &= -59. \end{align} \]

Le premier système nous donne $a = -4$, $b = 3$ et $e = 37$, et le second conduit à $c = 2$, $d = -1$ et $f = -43$. Ainsi, la transformation cherchée est :

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-4 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}37\\-43\end{array}\right). \]

Question 4

Trouvez l’image du point de coordonnées $(x,y)$ par une homothétie de centre $(h,k)$ et de rapport $c$. (Suggestion : translatez d’abord le point $(x,y)$ selon le vecteur $(-h,-k)$ avant d’effectuer l’homothétie, puis translatez le point obtenu selon le vecteur $(h,k)$.)

Solution. C’est le point de coordonnées $\left(cx+h(1-c), cy+k(1-c)\right)$.

Question 5

Trouvez deux similitudes qui envoient le segment $\mathcal{S}$, reliant les points $P = (-3,-1)$ et $Q = (-1,1)$, sur le segment $\mathcal{T}$, reliant les points $A = (3,1)$ et $B = (2,2)$. On sous-entend ici que le point $P$ est envoyé sur $A$, et le point $Q$ sur $B$.

Solution. Les expressions analytiques des deux similitudes cherchées sont les suivantes :

\[ w_1\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{array}\right), \]

\[ w_2\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{array}\right). \]

Question 6

Trouvez l’expression analytique de la transformation affine correspondant à la projection orthogonale sur la droite d’équation $y = x$.

Solution. Si $w$ désigne la projection orthogonale sur la droite d’équation $y = x$, alors

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right). \]

Question 7

Soient $a,b,r\in]0,\infty[$, et $e,f\in\mathbb{R}$. Considérons l’application affine $w:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ dont l’expression analytique est donnée par

\[ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right). \]

Quelle est l’équation du lieu des points de $\mathbb{R}^2$ correspondant à l’image du cercle d’équation $x^2 + y^2 = r^2$ par $w$ ?

Solution. Il s’agit d’une ellipse d’équation

\[ \frac{(x-e)^2}{(ar)^2} + \frac{(y-f)^2}{(br)^2} = 1, \]

c’est-à-dire une ellipse centrée au point $(e,f)$ dont l’axe horizontal est de longueur $2ar$ et dont l’axe vertical est de longueur $2br$.

Question 8

On considère le triangle rectangle $\mathcal{T}:=\Delta BAC$ illustré ci-dessous dont les côtés sont de longueur $a, b$ et $c$. Le triangle $\mathcal{T}$ est l’union des triangles rectangles $\mathcal{T}_1:=\Delta ADC$ et $\mathcal{T}_2:=\Delta BDC$.

Montrez que $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$ sont semblables à $\mathcal{T}$.
D’après (a), il existe des similitudes $w_1$ et $w_2$ telles que $w_1(\mathcal{T})=\mathcal{T}_1$ et $w_2(\mathcal{T})=\mathcal{T}_2$. Soient $k_1$ et $k_2$, les rapports de similitude de $w_1$ et $w_2$ respectivement. Déterminez les valeurs de $k_1$ et $k_2$.

Solution. On trouve que $k_1 = \frac{a}{c}$ et $k_2 = \frac{b}{c}$.
Montrez que si $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont deux triangles semblables tels que $\mathcal{B}=w(\mathcal{A})$, où $w$ est une similitude de rapport $k$, alors Aire($\mathcal{B}$)=$k^2$Aire($\mathcal{A}$).
Désignons par $s, s_1$ et $s_2$ les aires des triangles $\mathcal{T}, \mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$ respectivement. Utiliser ce qui précède, et l’égalité $s = s_1 + s_2$ pour démontrer le théorème de Pythagore.
Trouvez un ensemble $\mathcal{E}$ tel que $w_1(\mathcal{E})\cup w_2(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.

Solution. On vérifie que $\mathcal{E} = \mathcal{T}$ fait l’affaire.

--- title: "02 - Transformations du plan" author: "Jérôme Soucy" --- ## Question 1 Soit l'application affine dont la représentation analytique est donnée par $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right). $$ #. Déterminez l'image du rectangle plein $\left\{(x,y) : x \in [0,2] ~\text{et}~y \in [0,1]\right\}$ par $w$. #. Déterminez l'image par $w$ du triangle plein dont les sommets sont donnés par $$A = (1,1), B = (0,0) ~\text{et}~ C = (-1,1).$$ ::: solution #. C'est un parallélogramme (plein) de sommets $(-2,1), (-1,1), (1,5)$ et $(0,5).$ #. C'est un triangle (plein) de sommets $(-1,3), (-1,1)$ et $(-3,-1).$ ::: ## Question 2 Trouvez l'expression analytique de l'isométrie qui envoie le triangle de la figure 1 sur celui de la figure 2. ![Figure 1](Triangle1.png){width=400px} ![Figure 2](Triangle2.png){width=400px} ::: solution L'expression analytique d'une telle isométrie peut être exprimée de la façon suivante : $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}1-\frac{\sqrt{2}}{4}\\\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\right). $$ ::: ## Question 3 Trouvez l'expression analytique d'une application affine qui envoie le triangle de sommets $A = (-11,3),B = (1,12)$ et $C = (-1,14)$ sur le triangle de sommets $P = (90,-68), Q = (69,-53)$ et $R = (83,-59).$ On sous-entend ici que le point $A$ est envoyé sur $P$, le point $B$ sur $Q$ et le point $C$ sur $R.$ Il serait souhaitable d'utiliser un outil informatique pour faire les calculs. ::: solution L'expression analytique de la transformation cherchée est : $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-4&3\\2&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}37\\-43\end{array}\right). $$ **Imposition des conditions** Il faut déterminer $a, b, c, d, e$ et $f$ tels que la transformation $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) $$ soit telle que $w(A) = P$, $w(B) = Q$ et $w(C) = R$. Ces trois conditions se traduisent : $$ w\left(\begin{array}{c}-11\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-11\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}90\\-68\end{array}\right), $$ $$ w\left(\begin{array}{c}1\\12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\12\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}69\\-53\end{array}\right), $$ $$ w\left(\begin{array}{c}-1\\14\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-1\\14\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}83\\-59\end{array}\right), $$ qui, sous forme d'équations, s'écrivent : $$ \begin{align} -11a + 3b + e &= 90, \\ -11c + 3d + f &= -68, \\ a + 12b + e &= 69, \\ c + 12d + f &= -53, \\ -a + 14b + e &= 83, \\ -c + 14d + f &= -59. \end{align} $$ **Résolution des systèmes** On considère d'abord le système formé des équations ne contenant que les nombres $a,b$ et $e$ : $$ \begin{aligned} -11a + 3b + e &= 90,\\ a + 12b + e &= 69,\\ -a + 14b + e &= 83. \end{aligned} $$ Par la suite, on traite le système formé des équations ne contenant que les nombres $c,d$ et $f$ : $$ \begin{align} -11c + 3d + f &= -68,\\ c + 12d + f &= -53,\\ -c + 14d + f &= -59. \end{align} $$ Le premier système nous donne $a = -4$, $b = 3$ et $e = 37$, et le second conduit à $c = 2$, $d = -1$ et $f = -43$. Ainsi, la transformation cherchée est : $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-4 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}37\\-43\end{array}\right). $$ ::: ## Question 4 Trouvez l'image du point de coordonnées $(x,y)$ par une homothétie de centre $(h,k)$ et de rapport $c$. (Suggestion : translatez d'abord le point $(x,y)$ selon le vecteur $(-h,-k)$ avant d'effectuer l'homothétie, puis translatez le point obtenu selon le vecteur $(h,k)$.) ::: solution C'est le point de coordonnées $\left(cx+h(1-c), cy+k(1-c)\right)$. ::: ## Question 5 Trouvez deux similitudes qui envoient le segment $\mathcal{S}$, reliant les points $P = (-3,-1)$ et $Q = (-1,1)$, sur le segment $\mathcal{T}$, reliant les points $A = (3,1)$ et $B = (2,2)$. On sous-entend ici que le point $P$ est envoyé sur $A$, et le point $Q$ sur $B$. ::: solution Les expressions analytiques des deux similitudes cherchées sont les suivantes : $$ w_1\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{array}\right), $$ $$ w_2\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{array}\right). $$ ::: ## Question 6 Trouvez l'expression analytique de la transformation affine correspondant à la projection orthogonale sur la droite d'équation $y = x$. ::: solution Si $w$ désigne la projection orthogonale sur la droite d'équation $y = x$, alors $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right). $$ ::: ## Question 7 Soient $a,b,r\in]0,\infty[$, et $e,f\in\mathbb{R}$. Considérons l'application affine $w:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ dont l'expression analytique est donnée par $$ w\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right). $$ Quelle est l'équation du lieu des points de $\mathbb{R}^2$ correspondant à l'image du cercle d'équation $x^2 + y^2 = r^2$ par $w$ ? ::: solution Il s'agit d'une ellipse d'équation $$ \frac{(x-e)^2}{(ar)^2} + \frac{(y-f)^2}{(br)^2} = 1, $$ c'est-à-dire une ellipse centrée au point $(e,f)$ dont l'axe horizontal est de longueur $2ar$ et dont l'axe vertical est de longueur $2br$. ::: ## Question 8 On considère le triangle rectangle $\mathcal{T}:=\Delta BAC$ illustré ci-dessous dont les côtés sont de longueur $a, b$ et $c$. Le triangle $\mathcal{T}$ est l'union des triangles rectangles $\mathcal{T}_1:=\Delta ADC$ et $\mathcal{T}_2:=\Delta BDC$. ![Illustration du triangle rectangle](Pythagore.png) 1. Montrez que $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$ sont semblables à $\mathcal{T}$. 2. D'après (a), il existe des similitudes $w_1$ et $w_2$ telles que $w_1(\mathcal{T})=\mathcal{T}_1$ et $w_2(\mathcal{T})=\mathcal{T}_2$. Soient $k_1$ et $k_2$, les rapports de similitude de $w_1$ et $w_2$ respectivement. Déterminez les valeurs de $k_1$ et $k_2$. ::: solution On trouve que $k_1 = \frac{a}{c}$ et $k_2 = \frac{b}{c}$. ::: 3. Montrez que si $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont deux triangles semblables tels que $\mathcal{B}=w(\mathcal{A})$, où $w$ est une similitude de rapport $k$, alors Aire($\mathcal{B}$)=$k^2$Aire($\mathcal{A}$). 4. Désignons par $s, s_1$ et $s_2$ les aires des triangles $\mathcal{T}, \mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$ respectivement. Utiliser ce qui précède, et l'égalité $s = s_1 + s_2$ pour démontrer le théorème de Pythagore. 5. Trouvez un ensemble $\mathcal{E}$ tel que $w_1(\mathcal{E})\cup w_2(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. ::: solution On vérifie que $\mathcal{E} = \mathcal{T}$ fait l'affaire. :::