04 - Les points fixes

Question 1

Trouvez les points fixes des fonctions ci-dessous.

1. \(f(x) = x^3\)
2. \(f(x, y) = (2x + y, x - y)\)
3. La fonction de \(\mathbb{R}^2\) vers \(\mathbb{R}^2\) définie par \(R_a \circ R_b\), où \(a\) est la droite \(y = x\) et \(b\) la droite \(y = 3 - x\).
4. La fonction \(\lfloor x \rfloor\).

Question 2

1. Un seul polynôme possède une infinité de points fixes. Lequel ?
2. Expliquez pourquoi un polynôme de degré \(n \geq 2\) possède au plus \(n\) points fixes.
3. Pour chaque \(n \in \mathbb{N}^{\star}\), trouvez un polynôme de degré \(n\) qui possède \(n\) points fixes.

Question 3

Vrai ou faux avec justification : si \(1\) est une valeur propre de la matrice \(A\), alors la fonction de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) définie par \(f(\vec{x}) = A\vec{x}\) possède au moins un point fixe.