13 - Localisation

Auteur

Jérôme Soucy

Dernière mise à jour

05 février 2026 à 15:20

Indications

Pour répondre aux questions, vous devez considérer que :

La Terre est sphérique et son rayon est de $6378$ km ;
La vitesse du son est de $0{,}348$ km/s ;
La vitesse de la lumière est de $299\,792{,}458$ km/s.

Question 1

Trouvez les coordonnées polaires $(r,\theta)$ des points dont les coordonnées cartésiennes sont données ci-dessous. Donnez l’angle $\theta$ en radians.

$(1, 0)$

Solution. $\left(r, \theta\right) = (1, 0)$
$(-8, 8)$

Solution. $\left(r, \theta\right) = \left(8\sqrt{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)$
$\left(-5\sqrt{3}, -5\right)$

Solution. $\left(r, \theta\right) = \left(10, -\dfrac{5\pi}{6}\right)$
$(0, 0)$

Solution. Non définies

Question 2

Trouvez les coordonnées cartésiennes $(x, y)$ des points dont les coordonnées polaires sont données ci-dessous.

$(2, 135^\circ)$

Solution. $\left(-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right)$
$\left(8, -\dfrac{\pi}{3}\right)$

Solution. $\left(4, -4\sqrt{3}\right)$

Question 3

Trouvez les coordonnées sphériques $(\rho, \theta, \phi)$ des points dont les coordonnées cartésiennes sont données ci-dessous. Donnez les angles en radians.

$\left(-1, 1, \sqrt{2}\right)$

Solution. $(\rho, \theta, \phi) = \left(2, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)$
$\left(0, -4, 4\sqrt{3}\right)$

Solution. $(\rho, \theta, \phi) = \left(8, -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{3}\right)$

Question 4

Trouvez une fonction $f(r)$ qui prend une mesure d’angle en radians et la transforme en degrés.
Trouvez une fonction $g(r)$ qui prend une mesure d’angle en degrés et la transforme en radians.
Trouvez une fonction $f(d, m, s)$ qui transforme un angle en degrés-minutes-secondes vers un angle en radians. On se souviendra qu’un degré contient 60 minutes, et qu’une minute contient 60 secondes.

Solution. $f(d, m, s) = \dfrac{\pi}{180}\left(d + \dfrac{m}{60} + \dfrac{s}{3600}\right)$

Question 5

En vous référant au texte La traversée du Grand LacUne, déterminez la position du bateau dans chacune des situations ci-dessous. Les coordonnées de $P_i$ correspondent à celle du $i^\text{e}$ port, alors que $t_i$ est le temps de parcours du son entre le canon du $i^\text{e}$ port et le bateau.

\[ \begin{align*} P1 &= (0, 0) & t_1 &= 126\ \text{s} \\ P2 &= (50, 70) & t_2 &= 157\ \text{s} \\ P3 &= (90, 20) & t_3 &= 173\ \text{s} \end{align*} \]

Vous connaissez les coordonnées de $P_1$ et $P_2$, de même que les temps $t_1$ et $t_2$. Vous savez de plus qu’il n’y a pas d’erreur d’horloge.

Solution. Il y a deux solutions possibles : \[ (2{,}05585682; 43{,}79977804) \quad \text{et} \quad (40{,}76545810; 16{,}15006284). \]
Vous connaissez les coordonnées de tous les ports, de même que les temps de parcours du son de tous les canons. Cependant, vous savez qu’il y a une erreur d’horloge. Donnez aussi l’erreur de l’horloge.

Solution. On obtient deux valeurs possibles pour l’erreur de l’horloge : $10{,}83394095$ s et $287{,}3746477$ s. La première valeur semble la plus plausible, car sinon les temps mesurés seraient inférieurs à l’erreur de l’horloge. On en conclut donc que la position est $(33{,}59659918; 21{,}85171980)$.

Question 6

On s’intéresse ici à l’imprécision sur la position d’un point dans le plan.

Trouvez les coordonnées d’un point $P$ situé à $147$ km du point $(50, 0)$ et à $139.4$ km du point $(0, 50)$.

Solution. $(-83{,}437779; -61{,}671379)$ et $(111{,}671379; 133{,}437779)$
Si le point $P$ est situé à $147$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(50, 0)$ et à $139.4$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(0, 50)$, quelle est l’erreur maximale qu’on commet sur la position de $P$ en utilisant la réponse obtenue en (a) ?

Solution. Pour le point situé près de $(111{,}671379; 133{,}437779)$, l’erreur maximale correspond à : \[ \max\{0{,}4073064796; 0{,}4071887791\} = 0{,}4073064796. \] Pour le point situé près de $(-83{,}437779; -61{,}671379)$, l’erreur maximale correspond à : \[ \max\{0{,}407306481; 0{,}407188782\} = 0.407306481. \]
Trouvez les coordonnées d’un point $Q$ situé à $147$ km du point $(50, 0)$ et à $138.8$ km du point $(50, -100)$.
Si le point $Q$ est situé à $147$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(50, 0)$ et à $138.8$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(50, -100)$, quelle est l’erreur maximale qu’on commet sur la position de $Q$ en utilisant la réponse obtenue en (c) ?
Est-ce que l’erreur maximale sur l’emplacement est plus grande pour le point $P$ de la partie (b) ou pour le point $Q$ de la partie (d) ? Pourquoi en est-il ainsi ?

Solution. Pour trouver les coordonnées du point $Q$, on procède comme pour le point $P$. On trouvera que l’erreur d’estimation de la position est moins grande, car les cercles s’intersectent à un angle plus proche de $90^\circ$.

Question 7

Soit $P$ un point de l’espace dont les coordonnées géocentriques sont $(36000,\ 10000,\ 15000)$, données en kilomètres.

Quelles sont les coordonnées sphériques de $P$ ?

Solution. $(\rho;\ \theta;\ \phi) = (40261{,}644; 0{,}270946850; 0{,}381769355)$
À quelle altitude, par rapport à la Terre, ce point est-il situé ?

Solution. $33\,883{,}644$ km

Question 8

Lors de la 28$^\text{e}$ assemblée générale de l’Union astronomique internationale, l’unité astronomique (ua) a été définie comme valant exactement $149\,597\,870\,700$ m. Il s’agit grosso modo de la distance entre la Terre et le Soleil.

En arrondissant à la seconde, combien de temps met la lumière à nous parvenir du Soleil ?

Solution. $8$ minutes $19$ secondes
Combien d’unités astronomiques correspondent à une année-lumière ? Rappelons qu’une année-lumière correspond à la distance parcourue par la lumière en une année.

Solution. $63\,241$ ua

--- title: "13 - Localisation" author: "Jérôme Soucy" --- ## Indications Pour répondre aux questions, vous devez considérer que : - La Terre est sphérique et son rayon est de $6378$ km ; - La vitesse du son est de $0{,}348$ km/s ; - La vitesse de la lumière est de $299\,792{,}458$ km/s. ## Question 1 Trouvez les coordonnées polaires $(r,\theta)$ des points dont les coordonnées cartésiennes sont données ci-dessous. Donnez l'angle $\theta$ en radians. 1. $(1, 0)$ ::: solution $\left(r, \theta\right) = (1, 0)$ ::: 2. $(-8, 8)$ ::: solution $\left(r, \theta\right) = \left(8\sqrt{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)$ ::: 3. $\left(-5\sqrt{3}, -5\right)$ ::: solution $\left(r, \theta\right) = \left(10, -\dfrac{5\pi}{6}\right)$ ::: 4. $(0, 0)$ ::: solution Non définies ::: ## Question 2 Trouvez les coordonnées cartésiennes $(x, y)$ des points dont les coordonnées polaires sont données ci-dessous. 1. $(2, 135^\circ)$ ::: solution $\left(-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right)$ ::: 2. $\left(8, -\dfrac{\pi}{3}\right)$ ::: solution $\left(4, -4\sqrt{3}\right)$ ::: ## Question 3 Trouvez les coordonnées sphériques $(\rho, \theta, \phi)$ des points dont les coordonnées cartésiennes sont données ci-dessous. Donnez les angles en radians. 1. $\left(-1, 1, \sqrt{2}\right)$ ::: solution $(\rho, \theta, \phi) = \left(2, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)$ ::: 2. $\left(0, -4, 4\sqrt{3}\right)$ ::: solution $(\rho, \theta, \phi) = \left(8, -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{3}\right)$ ::: ## Question 4 1. Trouvez une fonction $f(r)$ qui prend une mesure d'angle en radians et la transforme en degrés. 2. Trouvez une fonction $g(r)$ qui prend une mesure d'angle en degrés et la transforme en radians. 3. Trouvez une fonction $f(d, m, s)$ qui transforme un angle en degrés-minutes-secondes vers un angle en radians. On se souviendra qu’un degré contient 60 minutes, et qu’une minute contient 60 secondes. ::: solution $f(d, m, s) = \dfrac{\pi}{180}\left(d + \dfrac{m}{60} + \dfrac{s}{3600}\right)$ ::: ## Question 5 En vous référant au texte *La traversée du Grand LacUne*, déterminez la position du bateau dans chacune des situations ci-dessous. Les coordonnées de $P_i$ correspondent à celle du $i^\text{e}$ port, alors que $t_i$ est le temps de parcours du son entre le canon du $i^\text{e}$ port et le bateau. $$ \begin{align*} P1 &= (0, 0) & t_1 &= 126\ \text{s} \\ P2 &= (50, 70) & t_2 &= 157\ \text{s} \\ P3 &= (90, 20) & t_3 &= 173\ \text{s} \end{align*} $$ 1. Vous connaissez les coordonnées de $P_1$ et $P_2$, de même que les temps $t_1$ et $t_2$. Vous savez de plus qu’il n’y a pas d’erreur d’horloge. ::: solution Il y a deux solutions possibles : $$ (2{,}05585682; 43{,}79977804) \quad \text{et} \quad (40{,}76545810; 16{,}15006284). $$ ::: 2. Vous connaissez les coordonnées de tous les ports, de même que les temps de parcours du son de tous les canons. Cependant, vous savez qu’il y a une erreur d’horloge. Donnez aussi l’erreur de l’horloge. ::: solution On obtient deux valeurs possibles pour l’erreur de l’horloge : $10{,}83394095$ s et $287{,}3746477$ s. La première valeur semble la plus plausible, car sinon les temps mesurés seraient inférieurs à l’erreur de l’horloge. On en conclut donc que la position est $(33{,}59659918; 21{,}85171980)$. ::: ## Question 6 On s’intéresse ici à l’imprécision sur la position d’un point dans le plan. 1. Trouvez les coordonnées d’un point $P$ situé à $147$ km du point $(50, 0)$ et à $139.4$ km du point $(0, 50)$. ::: solution $(-83{,}437779; -61{,}671379)$ et $(111{,}671379; 133{,}437779)$ ::: 2. Si le point $P$ est situé à $147$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(50, 0)$ et à $139.4$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(0, 50)$, quelle est l’erreur maximale qu’on commet sur la position de $P$ en utilisant la réponse obtenue en (a) ? ::: solution Pour le point situé près de $(111{,}671379; 133{,}437779)$, l’erreur maximale correspond à : $$ \max\{0{,}4073064796; 0{,}4071887791\} = 0{,}4073064796. $$ Pour le point situé près de $(-83{,}437779; -61{,}671379)$, l’erreur maximale correspond à : $$ \max\{0{,}407306481; 0{,}407188782\} = 0.407306481. $$ ::: 3. Trouvez les coordonnées d’un point $Q$ situé à $147$ km du point $(50, 0)$ et à $138.8$ km du point $(50, -100)$. 4. Si le point $Q$ est situé à $147$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(50, 0)$ et à $138.8$ km $\pm$ $0.1$ km du point $(50, -100)$, quelle est l’erreur maximale qu’on commet sur la position de $Q$ en utilisant la réponse obtenue en (c) ? 5. Est-ce que l’erreur maximale sur l’emplacement est plus grande pour le point $P$ de la partie (b) ou pour le point $Q$ de la partie (d) ? Pourquoi en est-il ainsi ? ::: solution Pour trouver les coordonnées du point $Q$, on procède comme pour le point $P$. On trouvera que l’erreur d’estimation de la position est moins grande, car les cercles s’intersectent à un angle plus proche de $90^\circ$. ::: ## Question 7 Soit $P$ un point de l’espace dont les coordonnées géocentriques sont $(36000,\ 10000,\ 15000)$, données en kilomètres. 1. Quelles sont les coordonnées sphériques de $P$ ? ::: solution $(\rho;\ \theta;\ \phi) = (40261{,}644; 0{,}270946850; 0{,}381769355)$ ::: 2. À quelle altitude, par rapport à la Terre, ce point est-il situé ? ::: solution $33\,883{,}644$ km ::: ## Question 8 Lors de la 28$^\text{e}$ assemblée générale de l’Union astronomique internationale, l’unité astronomique (ua) a été définie comme valant exactement $149\,597\,870\,700$ m. Il s'agit grosso modo de la distance entre la Terre et le Soleil. 1. En arrondissant à la seconde, combien de temps met la lumière à nous parvenir du Soleil ? ::: solution $8$ minutes $19$ secondes ::: 2. Combien d'unités astronomiques correspondent à une année-lumière ? Rappelons qu'une année-lumière correspond à la distance parcourue par la lumière en une année. ::: solution $63\,241$ ua :::