10 - Processus stochastiques (1/3)

Auteur

Jérôme Soucy

Dernière mise à jour

05 février 2026 à 15:20

Question 1

Florence a trouvé que $\vec{v} = (1, -2, 6)$ est un vecteur propre associé à une certaine valeur propre $\lambda$ d’une matrice $A$. En utilisant un logiciel pour vérifier son résultat, elle a plutôt obtenu le vecteur $\vec{w} = (-5, 10, -30)$. Ne trouvant pas son erreur, elle demanda de l’aide à son enseignante, qui lui expliqua que le vecteur qu’elle avait obtenu est aussi une bonne réponse. Expliquez pourquoi.

Solution. Florence n’a pas à être surprise qu’on lui propose un vecteur différent de celui qu’elle a trouvé. Dès qu’on sait que $\vec{v}$ est un vecteur propre d’une matrice associé à une valeur propre $\lambda$, n’importe quel vecteur colinéaire à $\vec{v}$ qui est non nul sera lui aussi un vecteur propre associé à $\lambda$. Comme $(-5, 10, -30) = -5 \cdot (1, -2, 6)$, il va de soi que $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont deux bonnes réponses.

Question 2

Montrez que si $\vec{v}$ est un vecteur propre d’une matrice $A$ associé à une valeur propre $\lambda$, alors $\mu \vec{v}$ est lui aussi un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$, quel que soit $\mu \in \mathbb{R}$.

Solution. Sera fait en classe.

Question 3

Pour chacune des matrices suivantes, déterminez son polynôme caractéristique, ses valeurs propres, et les vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres.

\[\begin{pmatrix} 6 & 14 & 9 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -10 & -3 \end{pmatrix}\]
Solution. Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 + 9\lambda - 54$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 6$, $\lambda_2 = -3$, et $\lambda_3 = 3$. Les vecteurs propres associés sont :
- $\lambda_1$: $(t, 0, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_2$: $(t, 0, -t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_3$: $(t, 3t, -5t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$.
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}\]
Solution. Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^3 + 7\lambda^2 + 8\lambda$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 8$, $\lambda_2 = -1$, et $\lambda_3 = 0$. Les vecteurs propres associés sont :
- $\lambda_1$: $(5t, 4t, 9t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_2$: $(t, -t, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_3$: $(t, -2t, t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$.
\[\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\] où $a, b \in \mathbb{R}$.
Solution. Cas 1: $a = b = 0$ Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^2$. La seule valeur propre est $\lambda = 0$, et tous les vecteurs non nuls sont des vecteurs propres.

Cas 2: $a = b \neq 0$ La matrice est une multiple scalaire de l’identité, donc tout vecteur non nul est un vecteur propre. L’unique valeur propre correspond à l’entrée non nulle de la matrice.

Cas 3: $a \neq b$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = a$ et $\lambda_2 = b$. Les vecteurs propres associés sont :
- $\lambda_1$: $(t, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_2$: $(0, t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$.
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\[0.1cm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\]
Solution. Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^3 + \frac{11}{6}\lambda^2 - \frac{5}{6}\lambda$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = \frac{5}{6}$, et $\lambda_3 = 0$. Les vecteurs propres associés sont :
- $\lambda_1$: $(t, 0, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_2$: $(-2t, t, t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$,
- $\lambda_3$: $(t, 2t, -3t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$.

Question 4

Soit $P$ une matrice ayant $\lambda$ comme valeur propre et $\vec{v}$ comme vecteur propre associé à $\lambda$. Si $n \in \mathbb{N}$, montrez par induction que $\lambda^n$ est une valeur propre de $P^n$, et que $\vec{v}$ est un vecteur propre de $P^n$ associé à $\lambda^n$.

Solution. Sera fait en classe.

Question 5

Montrez que deux vecteurs de probabilités ne peuvent pas être colinéaires.

Solution. Sera fait en classe.

Question 6

Une matrice $M$ possède un vecteur propre $\vec{v}$ qui est un vecteur de probabilités. Est-ce que $M$ est nécessairement stochastique ? Justifiez.

Solution. Non, $M$ n’est pas nécessairement stochastique. Par exemple : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{où } A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Le vecteur $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$, mais $A$ n’est pas stochastique.

Question 7

Soient $M$ une matrice stochastique, et $\vec{v}$ un vecteur de probabilités. Montrez que $M\vec{v}$ est aussi un vecteur de probabilités.

Solution. Sera fait en classe.

--- title: "10 - Processus stochastiques (1/3)" author: "Jérôme Soucy" --- ## Question 1 Florence a trouvé que $\vec{v} = (1, -2, 6)$ est un vecteur propre associé à une certaine valeur propre $\lambda$ d'une matrice $A$. En utilisant un logiciel pour vérifier son résultat, elle a plutôt obtenu le vecteur $\vec{w} = (-5, 10, -30)$. Ne trouvant pas son erreur, elle demanda de l'aide à son enseignante, qui lui expliqua que le vecteur qu'elle avait obtenu est aussi une bonne réponse. Expliquez pourquoi. ::: solution Florence n'a pas à être surprise qu'on lui propose un vecteur différent de celui qu'elle a trouvé. Dès qu'on sait que $\vec{v}$ est un vecteur propre d'une matrice associé à une valeur propre $\lambda$, n'importe quel vecteur colinéaire à $\vec{v}$ qui est non nul sera lui aussi un vecteur propre associé à $\lambda$. Comme $(-5, 10, -30) = -5 \cdot (1, -2, 6)$, il va de soi que $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont deux bonnes réponses. ::: ## Question 2 Montrez que si $\vec{v}$ est un vecteur propre d'une matrice $A$ associé à une valeur propre $\lambda$, alors $\mu \vec{v}$ est lui aussi un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$, quel que soit $\mu \in \mathbb{R}$. ::: solution Sera fait en classe. ::: ## Question 3 Pour chacune des matrices suivantes, déterminez son polynôme caractéristique, ses valeurs propres, et les vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres. 1. \begin{pmatrix} 6 & 14 & 9 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -10 & -3 \end{pmatrix} ::: solution Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 + 9\lambda - 54$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 6$, $\lambda_2 = -3$, et $\lambda_3 = 3$. Les vecteurs propres associés sont : - $\lambda_1$: $(t, 0, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_2$: $(t, 0, -t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_3$: $(t, 3t, -5t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$. ::: 2. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$$ ::: solution Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^3 + 7\lambda^2 + 8\lambda$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 8$, $\lambda_2 = -1$, et $\lambda_3 = 0$. Les vecteurs propres associés sont : - $\lambda_1$: $(5t, 4t, 9t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_2$: $(t, -t, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_3$: $(t, -2t, t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$. ::: 3. $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$ où $a, b \in \mathbb{R}$. ::: solution **Cas 1:** $a = b = 0$ Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^2$. La seule valeur propre est $\lambda = 0$, et tous les vecteurs non nuls sont des vecteurs propres. **Cas 2:** $a = b \neq 0$ La matrice est une multiple scalaire de l'identité, donc tout vecteur non nul est un vecteur propre. L'unique valeur propre correspond à l'entrée non nulle de la matrice. **Cas 3:** $a \neq b$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = a$ et $\lambda_2 = b$. Les vecteurs propres associés sont : - $\lambda_1$: $(t, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_2$: $(0, t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$. ::: 4. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\[0.1cm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$ ::: solution Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = -\lambda^3 + \frac{11}{6}\lambda^2 - \frac{5}{6}\lambda$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = \frac{5}{6}$, et $\lambda_3 = 0$. Les vecteurs propres associés sont : - $\lambda_1$: $(t, 0, 0)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_2$: $(-2t, t, t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$, - $\lambda_3$: $(t, 2t, -3t)$ où $t \in \mathbb{R}^{\star}$. ::: ## Question 4 Soit $P$ une matrice ayant $\lambda$ comme valeur propre et $\vec{v}$ comme vecteur propre associé à $\lambda$. Si $n \in \mathbb{N}$, montrez par induction que $\lambda^n$ est une valeur propre de $P^n$, et que $\vec{v}$ est un vecteur propre de $P^n$ associé à $\lambda^n$. ::: solution Sera fait en classe. ::: ## Question 5 Montrez que deux vecteurs de probabilités ne peuvent pas être colinéaires. ::: solution Sera fait en classe. ::: ## Question 6 Une matrice $M$ possède un vecteur propre $\vec{v}$ qui est un vecteur de probabilités. Est-ce que $M$ est nécessairement stochastique ? Justifiez. ::: solution Non, $M$ n'est pas nécessairement stochastique. Par exemple : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{où } A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Le vecteur $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$, mais $A$ n'est pas stochastique. ::: ## Question 7 Soient $M$ une matrice stochastique, et $\vec{v}$ un vecteur de probabilités. Montrez que $M\vec{v}$ est aussi un vecteur de probabilités. ::: solution Sera fait en classe. :::