03 - Espaces métriques

Auteur

Jérôme Soucy

Dernière mise à jour

10 février 2026 à 13:24

Question 1

Soit \(P(x_1,y_1)\) et \(Q(x_2,y_2)\) des éléments de \(\mathbb{R}^2\). Déterminez si les fonctions suivantes sont des métriques sur \(\mathbb{R}^2\). Dans chacun des cas, justifiez votre réponse.

  1. \(d(P,Q) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|\)

    Solution. Oui, c’est la distance euclidienne.

  2. \(d(P,Q) = |x_1-x_2| \cdot |y_1-y_2|\)

    Solution. Non, par exemple \(d((1,0),(1,1))=0\) alors que les points \((1,0)\) et \((1,1)\) sont distincts. Cela contredit la propriété d’une métrique voulant que \(d(P,Q)=0\Rightarrow P=Q\).

  3. \(d(P,Q) = |x_1+x_2| + |y_1+y_2|\)

    Solution. Non, par exemple \(d((1,0),(-1,0))=0\) alors que les points \((1,0)\) et \((-1,0)\) sont distincts. Cela contredit la propriété d’une métrique voulant que \(d(P,Q)=0\Rightarrow P=Q\).

Question 2

Soit l’espace métrique \(\left(\mathbb{R}^2,d\right)\), où \(d\) est la métrique définie par \[ d\left((x_1,y_1),(x_2,y_2)\right) = |x_1-x_2| + 2|y_1-y_2|. \] Dessinez la boule ouverte centrée à l’origine de rayon \(r\).

Solution. L’intérieur du losange de sommets \(\left(0,\frac{1}{2}\right), \left(1,0\right), \left(0,-\frac{1}{2}\right), \left(-1,0\right)\).

Question 3

Est-ce que l’espace métrique \(\left(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, d_E\right)\) est complet? Justifiez.

Solution. Non. Il suffit de considérer une suite de nombres irrationnels qui converge vers un nombre rationnels. Par exemple, la suite \((x_n)\) où \(x_n=\frac{\sqrt{2}}{n}\) est une suite de Cauchy dans \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) qui converge vers \(0\), un nombre qui n’est pas dans cet ensemble.

Question 4

Donnez le terme général d’une suite \((x_n)\) de nombres rationnels qui converge vers \(\sqrt{2}\), faisant de \(\left(\mathbb{Q}, d_E\right)\) un espace métrique qui n’est pas complet.

Solution. Plusieurs réponses possibles, le graphe de la fonction \(f(x)=x^2-2\) et la construction de tangentes bien choisies peut vous suggérer une méthode.

Question 5

Vrai ou faux avec justification. Soit \((x_n)\) une suite dans un espace métrique \(\left(E,d\right)\). Si \[ d(x_n,a) < \frac{1}{n} \text{ pour tout } n \geq 1000, \] alors \(a \in E\).

Solution. Faux, la suite considérée à la question 3 fourni un contre-exemple.

Question 6

Pour chacun des ensembles ci-dessous, considérés dans l’espace métrique \(\left(\mathbb{R}^2, d_E\right)\), déterminez lesquelles des caractéristiques suivantes sont possédées par l’ensemble : Fermé, Ouvert, Borné, Compact. Donnez aussi une représentation graphique de l’ensemble.

  1. \(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : -1 < x < 1 ~\text{et}~ 0 \leq y \leq 1\right\}\)

    Solution. Borné

    Code 
    import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Dessiner la région remplie entre x = -1 et x = 1, y entre 0 et 1
x_fill = np.linspace(-1, 1, 1000)  # Points pour remplir le rectangle
y_bottom = np.zeros_like(x_fill)   # Bas de la région y = 0
y_top = np.ones_like(x_fill)       # Haut de la région y = 1

ax.fill_between(x_fill, y_bottom, y_top, where=(x_fill > -1) & (x_fill < 1),
color='skyblue', alpha=0.5, label='-1 < x < 1, 0 ≤ y ≤ 1')

# Tracer les segments horizontaux (inclus dans l'ensemble)
ax.hlines(y=0, xmin=-1, xmax=1, color='blue', linestyle='-', linewidth=2)
ax.hlines(y=1, xmin=-1, xmax=1, color='blue', linestyle='-', linewidth=2)

# Tracer les lignes verticales pointillées aux limites x = -1 et x = 1 dans y ∈ [0, 1]
y_vertical = np.linspace(0, 1, 100)  # y de 0 à 1
ax.plot([-1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)  # x = -1
ax.plot([1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)   # x = 1

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-0.5, 1.5)
ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-0.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Ensemble : $-1 < x < 1$ et $0 \leq y \leq 1$", fontsize=14)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

  2. \(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x^2\right\}\)

    Solution. Fermé

    Code 
    import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Définir les données pour la parabole y = x^2
x = np.linspace(-3, 3, 1000)  # Points entre -3 et 3
y = x**2  # Parabole

# Tracer la parabole
ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0, 0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-3.5, 3.5)
ax.set_ylim(-0.5, 10)
ax.set_xticks(np.arange(-3, 4, 1))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(0, 11, 2))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Parabole $y = x^2$", fontsize=14)


# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

  3. \(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x| = |y| ~\text{et}~ -1 \leq x \leq 1\right\}\)

    Solution. Borné, fermé et compact

    Code 
    import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

x = np.linspace(-1, 1, 1000)  # Points entre -3 et 3
y = x

# Tracer la parabole
ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)
y=-x
ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0, 0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_xticks(np.arange(-1, 1, 1))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-1, 1, 1))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

  4. \(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 < y < 1\right\}\)

    Solution. Ouvert

    Code 
    import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Dessiner la région remplie entre x = -1 et x = 1, y entre 0 et 1
x_fill = np.linspace(-2, 2, 1000)  # Points pour remplir le rectangle
y_bottom = np.zeros_like(x_fill)   # Bas de la région y = 0
y_top = np.ones_like(x_fill)       # Haut de la région y = 1

ax.fill_between(x_fill, y_bottom, y_top, where=(x_fill > -2) & (x_fill < 2),
color='skyblue', alpha=0.5, label='0 < y < 1')

# Tracer les segments horizontaux (inclus dans l'ensemble)
ax.hlines(y=0, xmin=-2, xmax=2, color='blue', linestyle='--', linewidth=2)
ax.hlines(y=1, xmin=-2, xmax=2, color='blue', linestyle='--', linewidth=2)

# Tracer les lignes verticales pointillées aux limites x = -1 et x = 1 dans y ∈ [0, 1]
 #  y_vertical = np.linspace(0, 1, 100)  # y de 0 à 1
 #  ax.plot([-1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)  # x = -1
 #  ax.plot([1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)# x = 1

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-0.5, 1.5)
ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-0.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

  5. \(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|+|y| < 1\right\}\)

    Solution. Ouvert et borné

    Code 
    import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Générer les points pour tracer la frontière |x| + |y| = 1
x = np.linspace(-1, 1, 500)  # Intervalle pour x
y1 = 1 - np.abs(x)           # y positif pour la frontière
y2 = -(1 - np.abs(x))        # y négatif pour la frontière

# Tracer la région remplie à l'intérieur de la frontière
x_fill = np.linspace(-1, 1, 500)
for x_i in x_fill:
   ax.fill_between([x_i], -(1 - abs(x_i)), 1 - abs(x_i), color='skyblue', alpha=0.5)

# Tracer la frontière en pointillés (|x| + |y| = 1)
ax.plot(x, y1, 'b--', linewidth=2)  # Partie supérieure
ax.plot(x, y2, 'b--', linewidth=2)  # Partie inférieure

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.2, 1.2)
ax.set_ylim(-1.2, 1.2)
ax.set_xticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Région : $|x| + |y| < 1$", fontsize=14)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

  6. \(\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\right\}\)

    Solution. Borné, fermé et compact

    Code 
    import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Paramètres pour tracer le cercle x^2 + y^2 = 1
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)  # Paramètre pour la circonférence
x = np.cos(theta)  # Coordonnées x sur le cercle
y = np.sin(theta)  # Coordonnées y sur le cercle

# Tracer la frontière du cercle en pointillés
ax.plot(x, y, linestyle='-', color='blue', linewidth=2, label=r'$x^2 + y^2 = 1$')

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_aspect('equal')  # Assure un repère orthonormé
ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes et titre
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Frontière : $x^2 + y^2 = 1$", fontsize=14)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

Question 7

Soit \((E,d)\) un espace métrique et soit \(f:E\rightarrow E\), une contration. Montrez que \(f\) est continue. Rappelons qu’un fonction \(f\) est continue en \(x_0\) si pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que \[x\in E~\text{et}~d(x_0,x)<\delta\Rightarrow d(f(x_0),f(x))<\varepsilon.\]

Question 8

Assurez-vous de pouvoir définir sans aide chacun des objets mathématiques ci-dessous. Vérifiez vos réponses dans les notes de cours.

  • Une contraction sur \(\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)\).
  • Un sous-ensemble borné de \(\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)\).
  • Un sous-ensemble fermé de \(\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)\).
  • Un sous-ensemble compact de \(\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)\).
  • Une métrique sur un ensemble \(X\).
  • Un espace métrique.
  • Une suite de Cauchy dans un espace métrique \((X,d)\).
  • Un espace métrique complet.