03 - Espaces métriques

Auteur

Jérôme Soucy

Dernière mise à jour

05 février 2026 à 15:20

Question 1

Soit $P(x_1,y_1)$ et $Q(x_2,y_2)$ des éléments de $\mathbb{R}^2$. Déterminez si les fonctions suivantes sont des métriques sur $\mathbb{R}^2$. Dans chacun des cas, justifiez votre réponse.

$d(P,Q) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|$

Solution. Oui, c’est la distance euclidienne.
$d(P,Q) = |x_1-x_2| \cdot |y_1-y_2|$

Solution. Non, par exemple $d((1,0),(1,1))=0$ alors que les points $(1,0)$ et $(1,1)$ sont distincts. Cela contredit la propriété d’une métrique voulant que $d(P,Q)=0\Rightarrow P=Q$.
$d(P,Q) = |x_1+x_2| + |y_1+y_2|$

Solution. Non, par exemple $d((1,0),(-1,0))=0$ alors que les points $(1,0)$ et $(-1,0)$ sont distincts. Cela contredit la propriété d’une métrique voulant que $d(P,Q)=0\Rightarrow P=Q$.

Question 2

Soit l’espace métrique $\left(\mathbb{R}^2,d\right)$, où $d$ est la métrique définie par \[ d\left((x_1,y_1),(x_2,y_2)\right) = |x_1-x_2| + 2|y_1-y_2|. \] Dessinez la boule ouverte centrée à l’origine de rayon $r$.

Solution. L’intérieur du losange de sommets $\left(0,\frac{1}{2}\right), \left(1,0\right), \left(0,-\frac{1}{2}\right), \left(-1,0\right)$.

Question 3

Est-ce que l’espace métrique $\left(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, d_E\right)$ est complet? Justifiez.

Solution. Non. Il suffit de considérer une suite de nombres irrationnels qui converge vers un nombre rationnels. Par exemple, la suite $(x_n)$ où $x_n=\frac{\sqrt{2}}{n}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ qui converge vers $0$, un nombre qui n’est pas dans cet ensemble.

Question 4

Donnez le terme général d’une suite $(x_n)$ de nombres rationnels qui converge vers $\sqrt{2}$, faisant de $\left(\mathbb{Q}, d_E\right)$ un espace métrique qui n’est pas complet.

Solution. Plusieurs réponses possibles, le graphe de la fonction $f(x)=x^2-2$ et la construction de tangentes bien choisies peut vous suggérer une méthode.

Question 5

Vrai ou faux avec justification. Soit $(x_n)$ une suite dans un espace métrique $\left(E,d\right)$. Si \[ d(x_n,a) < \frac{1}{n} \text{ pour tout } n \geq 1000, \] alors $a \in E$.

Solution. Faux, la suite considérée à la question 3 fourni un contre-exemple.

Question 6

Pour chacun des ensembles ci-dessous, considérés dans l’espace métrique $\left(\mathbb{R}^2, d_E\right)$, déterminez lesquelles des caractéristiques suivantes sont possédées par l’ensemble : Fermé, Ouvert, Borné, Compact. Donnez aussi une représentation graphique de l’ensemble.

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : -1 < x < 1 ~\text{et}~ 0 \leq y \leq 1\right\}$

Solution. Borné

Code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Dessiner la région remplie entre x = -1 et x = 1, y entre 0 et 1
x_fill = np.linspace(-1, 1, 1000)  # Points pour remplir le rectangle
y_bottom = np.zeros_like(x_fill)   # Bas de la région y = 0
y_top = np.ones_like(x_fill)       # Haut de la région y = 1

ax.fill_between(x_fill, y_bottom, y_top, where=(x_fill > -1) & (x_fill < 1),
color='skyblue', alpha=0.5, label='-1 < x < 1, 0 ≤ y ≤ 1')

# Tracer les segments horizontaux (inclus dans l'ensemble)
ax.hlines(y=0, xmin=-1, xmax=1, color='blue', linestyle='-', linewidth=2)
ax.hlines(y=1, xmin=-1, xmax=1, color='blue', linestyle='-', linewidth=2)

# Tracer les lignes verticales pointillées aux limites x = -1 et x = 1 dans y ∈ [0, 1]
y_vertical = np.linspace(0, 1, 100)  # y de 0 à 1
ax.plot([-1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)  # x = -1
ax.plot([1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)   # x = 1

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-0.5, 1.5)
ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-0.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Ensemble : $-1 < x < 1$ et $0 \leq y \leq 1$", fontsize=14)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x^2\right\}$

Solution. Fermé

Code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Définir les données pour la parabole y = x^2
x = np.linspace(-3, 3, 1000)  # Points entre -3 et 3
y = x**2  # Parabole

# Tracer la parabole
ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0, 0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-3.5, 3.5)
ax.set_ylim(-0.5, 10)
ax.set_xticks(np.arange(-3, 4, 1))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(0, 11, 2))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Parabole $y = x^2$", fontsize=14)


# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x| = |y| ~\text{et}~ -1 \leq x \leq 1\right\}$

Solution. Borné, fermé et compact

Code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

x = np.linspace(-1, 1, 1000)  # Points entre -3 et 3
y = x

# Tracer la parabole
ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)
y=-x
ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0, 0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_xticks(np.arange(-1, 1, 1))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-1, 1, 1))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 < y < 1\right\}$

Solution. Ouvert

Code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Dessiner la région remplie entre x = -1 et x = 1, y entre 0 et 1
x_fill = np.linspace(-2, 2, 1000)  # Points pour remplir le rectangle
y_bottom = np.zeros_like(x_fill)   # Bas de la région y = 0
y_top = np.ones_like(x_fill)       # Haut de la région y = 1

ax.fill_between(x_fill, y_bottom, y_top, where=(x_fill > -2) & (x_fill < 2),
color='skyblue', alpha=0.5, label='0 < y < 1')

# Tracer les segments horizontaux (inclus dans l'ensemble)
ax.hlines(y=0, xmin=-2, xmax=2, color='blue', linestyle='--', linewidth=2)
ax.hlines(y=1, xmin=-2, xmax=2, color='blue', linestyle='--', linewidth=2)

# Tracer les lignes verticales pointillées aux limites x = -1 et x = 1 dans y ∈ [0, 1]
 #  y_vertical = np.linspace(0, 1, 100)  # y de 0 à 1
 #  ax.plot([-1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)  # x = -1
 #  ax.plot([1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2)# x = 1

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-0.5, 1.5)
ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-0.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|+|y| < 1\right\}$

Solution. Ouvert et borné

Code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Générer les points pour tracer la frontière |x| + |y| = 1
x = np.linspace(-1, 1, 500)  # Intervalle pour x
y1 = 1 - np.abs(x)           # y positif pour la frontière
y2 = -(1 - np.abs(x))        # y négatif pour la frontière

# Tracer la région remplie à l'intérieur de la frontière
x_fill = np.linspace(-1, 1, 500)
for x_i in x_fill:
   ax.fill_between([x_i], -(1 - abs(x_i)), 1 - abs(x_i), color='skyblue', alpha=0.5)

# Tracer la frontière en pointillés (|x| + |y| = 1)
ax.plot(x, y1, 'b--', linewidth=2)  # Partie supérieure
ax.plot(x, y2, 'b--', linewidth=2)  # Partie inférieure

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.2, 1.2)
ax.set_ylim(-1.2, 1.2)
ax.set_xticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Région : $|x| + |y| < 1$", fontsize=14)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\right\}$

Solution. Borné, fermé et compact

Code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Création de la figure et des axes
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Paramètres pour tracer le cercle x^2 + y^2 = 1
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)  # Paramètre pour la circonférence
x = np.cos(theta)  # Coordonnées x sur le cercle
y = np.sin(theta)  # Coordonnées y sur le cercle

# Tracer la frontière du cercle en pointillés
ax.plot(x, y, linestyle='-', color='blue', linewidth=2, label=r'$x^2 + y^2 = 1$')

# Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des x
ax.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Axe des y

# Configuration des limites et des graduations
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_aspect('equal')  # Assure un repère orthonormé
ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur x
ax.set_yticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5))  # Graduations sur y

# Étiquettes des axes et titre
ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
ax.set_title(r"Frontière : $x^2 + y^2 = 1$", fontsize=14)

# Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)

# Affichage du graphique
plt.show()

Question 7

Soit $(E,d)$ un espace métrique et soit $f:E\rightarrow E$, une contration. Montrez que $f$ est continue. Rappelons qu’un fonction $f$ est continue en $x_0$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que \[x\in E~\text{et}~d(x_0,x)<\delta\Rightarrow d(f(x_0),f(x))<\varepsilon.\]

Question 8

Assurez-vous de pouvoir définir sans aide chacun des objets mathématiques ci-dessous. Vérifiez vos réponses dans les notes de cours.

Une contraction sur $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$.
Un sous-ensemble borné de $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$.
Un sous-ensemble fermé de $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$.
Un sous-ensemble compact de $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$.
Une métrique sur un ensemble $X$.
Un espace métrique.
Une suite de Cauchy dans un espace métrique $(X,d)$.
Un espace métrique complet.

--- title: "03 - Espaces métriques" author: "Jérôme Soucy" --- ## Question 1 Soit $P(x_1,y_1)$ et $Q(x_2,y_2)$ des éléments de $\mathbb{R}^2$. Déterminez si les fonctions suivantes sont des métriques sur $\mathbb{R}^2$. Dans chacun des cas, justifiez votre réponse. 1. $d(P,Q) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|$ ::: solution Oui, c'est la distance euclidienne. ::: 2. $d(P,Q) = |x_1-x_2| \cdot |y_1-y_2|$ ::: solution Non, par exemple $d((1,0),(1,1))=0$ alors que les points $(1,0)$ et $(1,1)$ sont distincts. Cela contredit la propriété d'une métrique voulant que $d(P,Q)=0\Rightarrow P=Q$. ::: 3. $d(P,Q) = |x_1+x_2| + |y_1+y_2|$ ::: solution Non, par exemple $d((1,0),(-1,0))=0$ alors que les points $(1,0)$ et $(-1,0)$ sont distincts. Cela contredit la propriété d'une métrique voulant que $d(P,Q)=0\Rightarrow P=Q$. ::: ## Question 2 Soit l'espace métrique $\left(\mathbb{R}^2,d\right)$, où $d$ est la métrique définie par $$ d\left((x_1,y_1),(x_2,y_2)\right) = |x_1-x_2| + 2|y_1-y_2|. $$ Dessinez la boule ouverte centrée à l'origine de rayon $r$. ::: solution L'intérieur du losange de sommets $\left(0,\frac{1}{2}\right), \left(1,0\right), \left(0,-\frac{1}{2}\right), \left(-1,0\right)$. ::: ## Question 3 Est-ce que l'espace métrique $\left(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, d_E\right)$ est complet? Justifiez. ::: solution Non. Il suffit de considérer une suite de nombres irrationnels qui converge vers un nombre rationnels. Par exemple, la suite $(x_n)$ où $x_n=\frac{\sqrt{2}}{n}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ qui converge vers $0$, un nombre qui n'est pas dans cet ensemble. ::: ## Question 4 Donnez le terme général d'une suite $(x_n)$ de nombres rationnels qui converge vers $\sqrt{2}$, faisant de $\left(\mathbb{Q}, d_E\right)$ un espace métrique qui n'est pas complet. ::: solution Plusieurs réponses possibles, le graphe de la fonction $f(x)=x^2-2$ et la construction de tangentes bien choisies peut vous suggérer une méthode. ::: ## Question 5 Vrai ou faux avec justification. Soit $(x_n)$ une suite dans un espace métrique $\left(E,d\right)$. Si $$ d(x_n,a) < \frac{1}{n} \text{ pour tout } n \geq 1000, $$ alors $a \in E$. ::: solution Faux, la suite considérée à la question 3 fourni un contre-exemple. ::: ## Question 6 Pour chacun des ensembles ci-dessous, considérés dans l'espace métrique $\left(\mathbb{R}^2, d_E\right)$, déterminez lesquelles des caractéristiques suivantes sont possédées par l'ensemble : **Fermé**, **Ouvert**, **Borné**, **Compact**. Donnez aussi une représentation graphique de l'ensemble. 1. $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : -1 < x < 1 ~\text{et}~ 0 \leq y \leq 1\right\}$ ::: solution Borné ```{python} import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Création de la figure et des axes fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # Dessiner la région remplie entre x = -1 et x = 1, y entre 0 et 1 x_fill = np.linspace(-1, 1, 1000) # Points pour remplir le rectangle y_bottom = np.zeros_like(x_fill) # Bas de la région y = 0 y_top = np.ones_like(x_fill) # Haut de la région y = 1 ax.fill_between(x_fill, y_bottom, y_top, where=(x_fill > -1) & (x_fill < 1), color='skyblue', alpha=0.5, label='-1 < x < 1, 0 ≤ y ≤ 1') # Tracer les segments horizontaux (inclus dans l'ensemble) ax.hlines(y=0, xmin=-1, xmax=1, color='blue', linestyle='-', linewidth=2) ax.hlines(y=1, xmin=-1, xmax=1, color='blue', linestyle='-', linewidth=2) # Tracer les lignes verticales pointillées aux limites x = -1 et x = 1 dans y ∈ [0, 1] y_vertical = np.linspace(0, 1, 100) # y de 0 à 1 ax.plot([-1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2) # x = -1 ax.plot([1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2) # x = 1 # Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des x ax.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des y # Configuration des limites et des graduations ax.set_xlim(-1.5, 1.5) ax.set_ylim(-0.5, 1.5) ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5)) # Graduations sur x ax.set_yticks(np.arange(-0.5, 1.6, 0.5)) # Graduations sur y # Étiquettes des axes ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title(r"Ensemble : $-1 < x < 1$ et $0 \leq y \leq 1$", fontsize=14) # Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # Affichage du graphique plt.show() ``` ::: 2. $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x^2\right\}$ ::: solution Fermé ```{python} import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Création de la figure et des axes fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # Définir les données pour la parabole y = x^2 x = np.linspace(-3, 3, 1000) # Points entre -3 et 3 y = x**2 # Parabole # Tracer la parabole ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2) # Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0, 0) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des x ax.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des y # Configuration des limites et des graduations ax.set_xlim(-3.5, 3.5) ax.set_ylim(-0.5, 10) ax.set_xticks(np.arange(-3, 4, 1)) # Graduations sur x ax.set_yticks(np.arange(0, 11, 2)) # Graduations sur y # Étiquettes des axes ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title(r"Parabole $y = x^2$", fontsize=14) # Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # Affichage du graphique plt.show() ``` ::: 3. $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x| = |y| ~\text{et}~ -1 \leq x \leq 1\right\}$ ::: solution Borné, fermé et compact ```{python} import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Création de la figure et des axes fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) x = np.linspace(-1, 1, 1000) # Points entre -3 et 3 y = x # Tracer la parabole ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2) y=-x ax.plot(x, y, color='blue', linewidth=2) # Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0, 0) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des x ax.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des y # Configuration des limites et des graduations ax.set_xlim(-1.5, 1.5) ax.set_ylim(-1.5, 1.5) ax.set_xticks(np.arange(-1, 1, 1)) # Graduations sur x ax.set_yticks(np.arange(-1, 1, 1)) # Graduations sur y # Étiquettes des axes ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) # Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # Affichage du graphique plt.show() ``` ::: 4. $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 < y < 1\right\}$ ::: solution Ouvert ```{python} import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Création de la figure et des axes fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # Dessiner la région remplie entre x = -1 et x = 1, y entre 0 et 1 x_fill = np.linspace(-2, 2, 1000) # Points pour remplir le rectangle y_bottom = np.zeros_like(x_fill) # Bas de la région y = 0 y_top = np.ones_like(x_fill) # Haut de la région y = 1 ax.fill_between(x_fill, y_bottom, y_top, where=(x_fill > -2) & (x_fill < 2), color='skyblue', alpha=0.5, label='0 < y < 1') # Tracer les segments horizontaux (inclus dans l'ensemble) ax.hlines(y=0, xmin=-2, xmax=2, color='blue', linestyle='--', linewidth=2) ax.hlines(y=1, xmin=-2, xmax=2, color='blue', linestyle='--', linewidth=2) # Tracer les lignes verticales pointillées aux limites x = -1 et x = 1 dans y ∈ [0, 1] # y_vertical = np.linspace(0, 1, 100) # y de 0 à 1 # ax.plot([-1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2) # x = -1 # ax.plot([1] * len(y_vertical), y_vertical, 'b--', linewidth=2) # x = 1 # Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des x ax.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des y # Configuration des limites et des graduations ax.set_xlim(-2, 2) ax.set_ylim(-0.5, 1.5) ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5)) # Graduations sur x ax.set_yticks(np.arange(-0.5, 1.6, 0.5)) # Graduations sur y # Étiquettes des axes ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) # Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # Affichage du graphique plt.show() ``` ::: 5. $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|+|y| < 1\right\}$ ::: solution Ouvert et borné ```{python} import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Création de la figure et des axes fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # Générer les points pour tracer la frontière |x| + |y| = 1 x = np.linspace(-1, 1, 500) # Intervalle pour x y1 = 1 - np.abs(x) # y positif pour la frontière y2 = -(1 - np.abs(x)) # y négatif pour la frontière # Tracer la région remplie à l'intérieur de la frontière x_fill = np.linspace(-1, 1, 500) for x_i in x_fill: ax.fill_between([x_i], -(1 - abs(x_i)), 1 - abs(x_i), color='skyblue', alpha=0.5) # Tracer la frontière en pointillés (|x| + |y| = 1) ax.plot(x, y1, 'b--', linewidth=2) # Partie supérieure ax.plot(x, y2, 'b--', linewidth=2) # Partie inférieure # Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des x ax.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des y # Configuration des limites et des graduations ax.set_xlim(-1.2, 1.2) ax.set_ylim(-1.2, 1.2) ax.set_xticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5)) # Graduations sur x ax.set_yticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5)) # Graduations sur y # Étiquettes des axes ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title(r"Région : $|x| + |y| < 1$", fontsize=14) # Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # Affichage du graphique plt.show() ``` ::: 6. $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\right\}$ ::: solution Borné, fermé et compact ```{python} import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Création de la figure et des axes fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # Paramètres pour tracer le cercle x^2 + y^2 = 1 theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000) # Paramètre pour la circonférence x = np.cos(theta) # Coordonnées x sur le cercle y = np.sin(theta) # Coordonnées y sur le cercle # Tracer la frontière du cercle en pointillés ax.plot(x, y, linestyle='-', color='blue', linewidth=2, label=r'$x^2 + y^2 = 1$') # Ajouter les axes x et y qui s'intersectent en (0,0) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des x ax.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Axe des y # Configuration des limites et des graduations ax.set_xlim(-1.5, 1.5) ax.set_ylim(-1.5, 1.5) ax.set_aspect('equal') # Assure un repère orthonormé ax.set_xticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5)) # Graduations sur x ax.set_yticks(np.arange(-1.5, 1.6, 0.5)) # Graduations sur y # Étiquettes des axes et titre ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title(r"Frontière : $x^2 + y^2 = 1$", fontsize=14) # Affichage de la grille pour une meilleure lisibilité ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # Affichage du graphique plt.show() ``` ::: ## Question 7 Soit $(E,d)$ un espace métrique et soit $f:E\rightarrow E$, une contration. Montrez que $f$ est continue. Rappelons qu'un fonction $f$ est continue en $x_0$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que $$x\in E~\text{et}~d(x_0,x)<\delta\Rightarrow d(f(x_0),f(x))<\varepsilon.$$ ## Question 8 Assurez-vous de pouvoir définir sans aide chacun des objets mathématiques ci-dessous. Vérifiez vos réponses dans les notes de cours. - Une contraction sur $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$. - Un sous-ensemble borné de $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$. - Un sous-ensemble fermé de $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$. - Un sous-ensemble compact de $\left(\mathbb{R}^2,d_E\right)$. - Une métrique sur un ensemble $X$. - Un espace métrique. - Une suite de Cauchy dans un espace métrique $(X,d)$. - Un espace métrique complet.